Matematika naša (ne)každodenná

Autor: František Cudziš | 21.7.2018 o 11:59 | Karma článku: 1,42 | Prečítané:  305x

    K napísaniu tohto článku (ktorý som pôvodne plánoval z trochu iných dôvodov) ma veľkou mierou motivoval aj článok pána Klimčíka [1], a tiež diskusia k nemu [2], ktorá je – podľa mňa - dôležitejšia ako článok samotný.

     Cieľom môjho článku nie je (len) pridať sa k tým či oným názorom v diskusii [2] alebo polemizovať s obsahom článku [1] ako takým, o ktorom si myslím, že je napísaný veľmi dobre. Cením si tiež ním nastolenú tému, ktorá môže v mysli čitateľa „kvasiť“ počas celých školských prázdnin, resp. tzv. „uhorkovej sezóny“.

    Aj ja mám na tom svoj špecifický záujem, predovšetkým v súvislosti s teóriou kozmodriftu a tzv. koncepčnej fyziky. Ale teraz sa chcem (v podstate) len pripojiť k diskusii [2], a to na základe svojich osobných skúseností s naberaním matematických vedomostí v škole a s rozsahom ich využitia vo svojom živote. No tiež – a to v neposlednom rade – na základe subjektívneho hodnotenia významu matematiky.

    Možno sa to bude zdať niekomu trúfalé. Najmä „havkáčom“ v diskusiách k mojim článkom, ktorí neustále vyhlasujú, ako vlastne ničomu nerozumiem.

    Azda sa mi však podarí aspoň niekomu naznačiť, že je to sotva (celkom) tak.

    Moja životná filozofia, prirodzene, obsahuje aj konkrétne postoje k významu vedy a vedeckého svetonázoru pre život „bežného“ človeka. Nepopieram, že - špeciálne vo fyzikálnej oblasti svojho svetonázoru - pracujem s netradičnými a novátorskými myšlienkami. A, čo sa týka matematiky, vo svojich článkoch som sa nikdy netajil názorom, že to nie je veda („ako taká“), čo zaznelo aj v diskusmých príspevkoch diskutéra s nickom „BerMatDan“ (napr. 23.05.2018, 11:21).

     Význam matematiky pre „bežného“ človeka

     Najprv k predmetnému článku pána Klimčíka. Zaujali ma predovšetkým jeho úvod i záver.

    Citujem z úvodu článku:

    » Luc Ferry, francúzsky filozof a politik (istý čas bol dokonca ministrom školstva, vedy a mládeže vo vláde J.-P. Rafarrina) je naozaj výraznou postavou v panoptiku diskutérov pravidelne pozývaných do verejných debát vo francúzskej štátnej televízii.

    Za svoju popularitu a spoločenský úspech nesporne vďačí svojej charizme i pohotovému vyjadrovaniu, ale časť publika si na ňom špeciálne cení, že dokáže prekračovať hranice tzv. politickej korektnosti.  Keď si pustí ústa na prechádzku, rúbe vľavo i vpravo a hoci sa dá s ním v mnohom polemizovať, predsa je to osviežujúci moment, keď nemusíte počúvať obvyklé alibistické táranie iných pozvaných hostí typu „aby aj vlk bol sýty, i koza zostala celá“.

    Dotyčný Luc Ferry si nedávno vzal na paškál vyučovanie matematiky vo francúzskych školách. Bezprostredne síce reagoval na pripomienkový materiál k tejto tématike z pera význačného matematika Cedrica Villaniho, ale v skutočnosti vyzneli jeho úvahy všeobecnejšie.

    Priamo pred  kamerami vytočil moderátora debaty i divákov pri obrazovkách zvlášť týmto výrokom: „Všetko, čo som sa v škole naučil z matematiky, mi bolo v živote vyslovene nanič.“  

    Toto vyznanie zapôsobilo na novinársku obec natoľko, že bolo zaradené aj do večerných televíznych novín a aby mi nič neuniklo z kontextu rozhovoru, vyhľadal som si ho na Youtube celý. Tam som uvidel, že ten podvečer v štúdiu bol Luc Ferry naozaj v ráži, vyčítal matematikom absurditu ich snaženia opakovane vtĺkať do hlavy rovnice ľuďom, ktorí ich zjavne nechápu a  nakoniec zaspieval oslavnú ódu na spôsob argumentácie filozofov, ktorý sa naozaj v živote používa na rozdiel od matematického dokazovania. « Koniec citovania.

    Citát zo záveru článku:

    » Teraz adresujem pár slov tým mimoriadne talentovaným a tvorivým mladým čitateľom, ktorí nepohrdnú radou staršieho od fachu. 

    Predpokladám, že každý z vás si už svoje statočné penzum odpočítal, a môže smelo prejsť k ďalšiemu kroku smerom nahor a tým je paradoxne „tvorivá lenivosť“.

    Navštívil som niekoľko špičkových svetových vedeckých inštitútov a v niektorých som aj nejaký čas pracoval, nahliadol som do tvorivej kuchyne tých najlepších svetových matematikov a fyzikov a konštatujem, že oni málokedy berú matematicky problém frontálnym útokom. Správajú sa ako princovia, ktorí chcú vyslobodiť Šípkovú Ruženku spiacu v hlbokom lese, ale nevrhnú sa smelo do húštiny kliesniť si mačetou  cestu v pote tváre, lež chodia okolo porastu  a pohľadom ostrieža striehnu, či neuvidia nenápadný chodníček vedúci do stredu hory priamo k cieľu. 

    Navyše títo ľudia získavajú s vekom na trpezlivosti, obkrúžia ten les aj viackrát, a nevzdajú sa, kým nenájdu slabinu v jeho pancieri.  Málokedy počítajú „natvrdo“, skôr sa snažia dosiahnuť, aby sa dostali k jadru orecha v škrupinke ľahučkým vypáčením malej skulinky namiesto búšenia tvrdou silou.

    Veľký vedec poväčšine nepočíta veľa.

    Prechádza sa tu i tam po svojej pracovni, občas nakreslí na papier či na tabuľu obrázok alebo pár symbolov a snaží sa nájsť taký uhol pohľadu, aby sa problematika v podstate vyriešila prirodzene sama.

    Vyzerá to jednoduché? Každý si to môže vyskúšať... « Koniec citovania.

     Človek sa celý život učí len preto, aby v starobe všetko zabudol

     Tak nejako znela replika v známej českej filmovej komédii „Slunce, seno a pár facek“.

     A viac-menej to potvrdzujú aj niektoré diskusné príspevky k článku [1] na margo „užitej“ matematiky.

     Ani ja som v (praktickom) živote nepotreboval vyššiu matematiku, rozhodne však nepochybujem, že je potrebná – a rovnako aj jej vyučovanie.           

     V diskusii sa spomínajú dva dôležité názory na vyučovanie matematiky. Jeden predstavuje metóda Prof. Hejného, druhým je názor jeho najzásadnejších oponentov.

     Z vlastnej skúsenosti žiaka viem, že (prinajmenšom voľakedy, ešte za socializmu) sa (na základných a stredných školách) v jednej školskej triede s tridsiatimi žiakmi priemerne vyskytovali štyria až šiesti žiaci s nadpriemerným „matematickým myslením“ a značná väčšina ostatných (vrátane „beznádejných prípadov“) nedosahovala ani len priemer.

    Ak voľaktorí žiaci na konci školského ročníka tzv. „prepadli“, takmer vždy „prepadali“ predovšetkým z matematiky a z odborov, kde bolo potrebné vedieť matematické poznatky uplatniť (napr. vo fyzike). Vyskytovali sa 15-roční žiaci, ktorí končili základnú školu v šiestom ročníku.

     Pamätám si na učiteľa, ktorý sa snažil naučiť čo-to z matematiky aj najväčšie „nemehlá“ v triede. Vyvolanému žiakovi pri tabuli viackrát opakoval potrebné poučky, až kým sa úplne nerozčúlil. Potom už kričal, prudko gestikuloval rukami, ale žiaka neudrel.

     Čudoval som sa mu.

     Ja – byť na jeho mieste – vytipoval by som si najnadanejších žiakov v triede a predovšetkým tým by som sa venoval.

    Je predsa zrejmé, že kto nerozumie matematike alebo fyzike, bude sa podobným profesiám vyhýbať. Radšej bude v živote robiť niečo iné, trebárs aj bezprostredne „neužitočné“ ale (predsa len) potrebné. Bude sa realizovať napríklad v umení alebo hoc len v oblasti „masovej zábavy“. A toto, naopak - bez potrebného talentu - často nedokáže ani najväčší (len) racionálne uvažujúci génius.

     Aj v súčasnosti sa stretávame – napr. v „showbiznise“ – s osobnosťami, ktoré sa priam chvastajú tým, ako (veľmi) im matematika „nešla“. Ale príjmy (možno i dane) si predsa len vedia spočítať perfektne!

     Prečo teda matematickým anti-talentom komplikovať mladosť opakovaním školských ročníka(ov)?

     Na druhej strane, zažil som aj to, že – na prvom stretnutí po piatich rokoch od ukončenia strednej školy -  ma spolužiačka Agnesa, patriaca v škole medzi „matematické nemehlá“, prekvapila tým, že učí (na základnej škole) – matematiku!

     Počas štúdia na strednej škole dávala prednosť iným záujmom. Podarilo sa jej zmaturovať. Reálny život ju (rýchlo) prinútil prehodnotiť svoj postoj k matematike, a ukázalo sa, že vlastne nepatrila medzi (skutočné) „matematické nemehlá“.

     Matematika – aj keď vlastne nie je veda – predstavuje, pre pokrok poznania i v reálnom živote ľudí, veľmi dôležitý nástroj. Je ako kuchárska kniha, kde jednotlivé matematické postupy (vynájdené v priebehu tisícov rokov) predstavujú návody na ukuchtenie konkrétneho jedla. Ale o vlastnostiach potravín, kuchynského riadu alebo zložitejších kuchynských zariadení, sa musí „kuchár“ poučiť z iných zdrojov.

     Čo sa týka reálneho života, jeden niečo vymyslí, desiatky jeho nasledovníkov to zdokonalia, stovky až milióny či miliardy tento pokrok „bezducho“ (nemajúc o vec záujem, nepotrebujú podstate rozumieť) využívajú.

     Tak je to prakticky v každej sfére života. Teda i vo vede a v matematike.

    Dopredu sa nevie, kto urobí podstatný príspevok k poznaniu. Ale je zrejmé, že taký príspevok môže pochádzať predovšetkým od človeka na onen čin (pokiaľ možno) dobre a všestranne pripraveného. Preto je vo všeobecnom záujme, aby sa aj (vyššia) matematika vyučovala takrečeno „plošne“.

     Veď už len priemerne mysliacich ľudí uchráni logika a matematika od podobných nástrah vagabundov, ktorí sa systematicky snažia zneužívať „jednoduchšie“ myslenie ľudí, ako je „jasnovidecká“ nástraha inzerátu na obrázku. –

 

     Heuristický potenciál vzťahu matematiky a fyziky

     Mnoho ľudí žasne nad schopnosťou matematiky odhaľovať vo všeobecných riešeniach úloh aj (neraz, pôvodne) netušené možné výsledky. Preto sa s obľubou zvykne hovorievať, že matematika dokáže „predpovedať“ (ešte) nepoznané. Mnohí sa divia, ako je to možné.

     Nuž, je to možné.

    Ale iba za takých okolností, keď použitie potrebných matematických postupov neprotirečí „prirodzeným“ vzťahom (fyzikálnej povahy) objektívnej reality. Lebo my – najmä v prípadoch nečakaných, „predpovedajúcich“ výsledkov – neraz ani netušíme, čoho sa vlastne „matematicky“ dotýkame.

     Práve preto je tak veľmi dôležitá správna interpretácia výsledkov matematických riešení.

     Aj paradoxných.

     Už ako stredoškolský študent som si uvedomoval, že môže nastať situácia, keď matematicky formálne správne vypočítaný výsledok môže byť „evidentne“ nesprávny. Vznikne teda paradox.

     Čo s tým? 

     Prvé, čo nás môže v takej situácii napadnúť, je predpoklad, že sme sa predsa len dopustili nejakej matematickej chyby.

    Prekontrolujeme teda celý výpočet znova – a nie raz! – ale chybu (povedzme) aj tak nenájdeme.

    Musíme teda predpokladať iné možnosti. –

    Jednou z nich je, že sme sa kdesi nevedomky dopustili delenia nulou.

    Ak je to pravda, treba nájsť, v ktorom kroku riešenia sa tak stalo.

    A tu nemáme inú možnosť, len zdôvodnenie opodstatnenosti každého jedného kroku riešenia musíme hľadať porovnávaním s inými riešeniami reálnych úlôh, kde (nami použitý) postup nevedie k paradoxu. Inými slovami, vtedy sa ukazuje v plnej nahote, že „matematicky“ si môžeme dovoliť len to, čo je reálne aj „fyzikálne“. A – naopak – na základe vhodného uplatnenia fyzikálnych poznatkov, možno dospieť aj k matematickým poznatkom, ktoré nemožno odvodiť inak, napríklad len rýdzo matematicky. 

     Tento vzťah matematiky a fyziky nám, vo všeobecnosti, teda môže napomôcť – akosi „skokovo“ - objaviť aj tie poznatky, ktoré (napríklad) nemožno principiálne odvodiť dedukciou z iných (už) známych faktov.

     Vo filozofii sa o tom uvažuje ako o „prerastaní kvantity v (novú) kvalitu“.          

     Nikdy nezabudnem na poznámku učiteľa (zrejme to bol RNDr. Ján Mózer na UK v Bratislave – pozn. autora) pri preberaní metód približných výpočtov algebraických rovníc vyšších stupňov. Tuším, pri iteračnej metóde výpočtu hodnoty konkrétneho koreňa, povedal:

    „Niekedy sa stane, že hodnota koreňa sa bude veľmi tesne blížiť k celému číslu – napríklad to bude hodnota 1,999... Čo nám bráni presvedčiť sa, či skutočná hodnota nie je 2? Skúška správnosti veľmi rýchlo a jednoducho ukáže, či bol náš predpoklad správny.“               

    Syrakúzan Archimedes (okolo 287 – 212 pr.n.l.) [3], údajne – na počesť bohov, že mu dovolili spočítať pomer objemu valca a objemu vpísanej mu gule (3:2) – obetoval sto volov.

    (Ktosi ironicky konštatoval, že odvtedy sa všetky voly trasú pred novými objavmi.)

    Ale bohovia mu umožnili spoznať oveľa-oveľa viac.

    Notoricky známa je anekdota o tom, ako sa išiel kúpať do vane s miernym nadbytkom vody.

    Trocha vyliatej vody stačilo, aby si položil zásadnú otázku, koľko vody by vytieklo na zem, keby bola celkom plná. A objavil tak (fyzikálnu) metódu exaktného merania objemu telies nepravidelného tvaru, ktorý nemožno určiť striktne matematicky.

    Na určenie plochy povrchu telesa nepravidelného tvaru by sme podobne mohli využiť znalosť Faradayovych (1791 – 1867) [4] zákonov elektrolýzy, ktoré sú vraj jedny z najpresnejšie overených fyzikálnych zákonov. (Michel Faraday bol zaujímavý aj tým, že nemal oficiálne vzdelanie. – Pozri napr. [5].)

    Danému telesu stačí vytvoriť elektricky vodivý povrch a potom ho - zvážené – možno ponoriť do vhodného elektrolytu, v ktorom sa na ňom elektrolyticky vytvorí veľmi jemná vrstva kovu o známej mernej hustote. Po opätovnom zvážení telesa, zo zisteného váhového rozdielu, možno určiť množstvo vylúčeného kovu aj jeho objem. Z neho – predeleného hrúbkou vzniknutého povlaku – stanovíme plochu povrchu skúmaného telesa.    

     O „tvorivej lenivosti“ všeobecne

     Na záver sa chcem ešte vyjadriť k vyzneniu druhého citátu z článku pána Klimčíka [1], v ktorom akoby „ospevoval“ „lenivosť matematikov“.

     Nazdávam sa, že rozumiem tomu, ako je to myslené.

     Na základe vlastných skúseností, pripájam k téme svoj pohľad. –

    Áno, je to tak, že pokrok (aspoň vo svojich počiatkoch) bol zrejme motivovaný snahou uľahčiť si prácu, ktorá poľudštila opicu a zo spoločného predka stvorila človeka. Táto snaha však paradoxne vedie „avantgardistu“ vždy k vynaloženiu námahy (niekedy len intelektuálnej), ktorú pôvodne nezamýšľal podstúpiť.

    Snom alchymistov bolo vyrobiť zlato a poľahky tak zbohatnúť.

    Zlato principiálne možno vyrobiť – procesom, obdobným alchymistami vysnenej transmutácii prvkov – ibaže je to drahšie, ako keď ho prosto vydolujeme zo zeme

    Z dialektického hľadiska, v zmysle zákonov zachovania (v princípe, „čohokoľvek“), iba hlupák sa môže vážne nádejať, že získa „niečo“ za „nič“, t.j. bez ekvivalentnej protihodnoty. Ani naozaj náhodné nájdenie pokladu (materiálnej povahy) nejakým šťastlivcom túto zákonitosť nenaruší, ak si uvedomíme, že ten poklad musel niekto najprv vyrobiť, resp. skoncentrovať do depotu.

    Už len obyčajný zlepšovateľ, nieto ešte významný vynálezca alebo bádateľ, venuje riešeniu svojho problému haldu času, ktorý by mohol využiť aj inak. Napríklad na odpočinok alebo na relaxáciu inou, zábavnejšou činnosťou. Ale on nie. –

    Pracuje (v mysli) na svojom probléme aj pri obede, či počas cesty do práce alebo z práce, niekedy rieši problémy aj v spánku...

    Kto to nezažil, nemá predstavu, o čom to je. 

    Niekedy sa „avantgardista“ za svoj výkon ani nedočká zaslúženej odmeny, ak nerátame blábol – že „história naňho nezabudne“.

    Alebo, ak sa neodmení sám – trebárs len pocitom z dobre vykonanej práce. (Hovorí sa napríklad aj o pocite prežívania „estetickej krásy“ významných matematicko-fyzikálnych rovníc „fajšmekrami“. Povedzme – na spôsob krásy oných štyroch Maxwellovych rovníc, ktoré on takto nikdy nepoložil vedľa seba). Lebo úrodu, ktorú on založil, zožne napokon nejaký oportunista.

    Mne ten citát znova pripomína prístup, prezentovať mimoriadne výkony, ako že vznikli „ľavou zadnou“, a že to bola – pre génia – vlastne len taká „brnkačka“. O tom som sa už zmieňoval v súvislosti s horolezectvom (Bajo) alebo s fyzikou (bubnujúci Feynman).

    Pán Klimčík však naozaj dobre vystihol, ako asi  vzniká prielom do nových oblastí poznania. Vzniká na základe geniálnych myšlienok, ktoré bývajú zväčša jednoduché.

 

 

            Pramene:

 

[1] Ako pristupovať k riešeniu matematických problémov

https://ctiradklimcik.blog.sme.sk/c/484794/ako-pristupovat-k-rieseniu-matematickych-problemov.html

 

[2] https://blog.sme.sk/diskusie/3301993/1/ako-pristupovat-k-rieseniu-matematickych-problemov.html

 

[3] Archimedes zo Syrakúz

https://sk.wikipedia.org/wiki/Archimedes_zo_Syrakúz

 

[4] Michael Faraday

https://sk.wikipedia.org/wiki/Michael_Faraday

 

[5] Michael Faraday – Bez oficiálneho vzdelania k vedeckým objavom

http://skolskyservis.teraz.sk/zaujimavosti/michael-faraday/29527-clanok.html

 

 

 

 

 

            Do pozornosti stálym čitateľom mojich článkov:

 

            Vážení priatelia, v poslednej dobe dostávam do svoje e-mailovej schránky cufr@centrum.sk od facebooku zoznamy mien ľudí, ktorí by azda chceli so mnou komunikovať cez facebook. Za všetky ponuky na tento kontakt vám srdečne ďakujem, no (predbežne) zo - subjektívnych dôvodov - nechcem pobývať na facebooku, aj keď ponúka možnosť chatu. Preto každého, kto má záujem o nejaké doplňujúce informácie k mojim myšlienkam, alebo dokonca záujem o nejakú (aj jednorázovú) formu spolupráce so mnou, nateraz odkazujem na uvedený e-mailový kontakt. Dúfam, že vás to neurazí ani neodradí od vašich zámerov v súvislosti so mnou. Ďakujem vám za porozumenie.

Páčil sa Vám tento článok? Pridajte si blogera medzi obľúbených a my Vám pošleme email keď napíše ďalší článok
Pridaj k obľúbeným

Hlavné správy

PÍŠE LUBOŠ PALATA

Česko sa stalo základňou vietnamskej rozviedky

Únos je len špičkou ľadovca.

PLUS

Portugalci sa dostali z drogového pekla radikálne

Z užívateľov drog spravili ľudí so zdravotným problémom.


Už ste čítali?